Juan Jesus Rosales Sandoval

FUNCIONES

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una funciónfde A en B, que se escribe f: A -+ B y se lee "f es una función o aplicación de A en B", es un subconjunto de AxB tal que todo xeA está relacionado a un solo elemento yeB. Es decir, en una función no se tienen dos pares ordenados distintos con la misma primera componente. Así, pues, toda función fes una relación especial de A en B.

Dado un par (x, y) € f se escribe y =f (x) y se dice que y es la imagen de x por f, o que y es el valor defen x, o bien que f transforma x en y.

2.1 DEFINICIÓN f es una función o aplicación de A en B sí y sólo si f es una relación entre A y B, que satisface las siguientes condiciones:

DEFINICION

Para la función f : A -+ B, A es ei dominio def y B es el codominio def.
El subconjunto de B formado por los elementos imágenes de todos los
miembros de A, se llama "imagen de-f' , y se denota por I (/).

Ejemplo:

Sean A = {1,2,3,4\ y B : {u, b, c, d} y sea
f : {(1, a), (2, b), (3, b), (4, c)}

Entonces.,¡f es una función, ya que ningún elemento de A aparece como
primer elemento de dos pares ordenados diferentes. Así, se tiene

f (I): o f (2):b f (3):b -f (4): c

El diagrama correspondiente es

El dominio de/es D (f) : A, el codominio de/es Cod (f) = B y la imagen de f  es I (f): {a, b, c}. obsérvese que el elemento b e B aparece como segundo elemento de dos diferentes pares ordenados de  f . Esto no
causa conflicto con la definición de una función. por tanto. dos elementos
diferentes de A pueden tener la misma imagen en B.

POSICIÓN DE FUNCIONES

Sean f: A → B v g: B → C dos lunciones tales que cl codonrinio de ,f coincide. con

el dcrnrinio de g (o bien I(f = D(g)): puede entonces definirse una nueva funcion g f de

A en C llamada función cornpuesta de f y g . como se muestra en el siguiente

diagrama.

DEFINICIÓN

 La composición de las funciones f: A →  B y g: A → B es la

función               g ₀ f: A →B definida por

(g ₀ f) (x)= g (f (x) ) para todo x € A

Dadas las funciones f: A →    B, g: B   →  C, 11: C → D ,se cumple l? asociatividad de la: composición.

h o (g _o f) (h _o g) _o f

donde la igualdad significa que ambos miembros representan la misma función de A en

D.

Por otra parte. la composición de funciones no es conmutativa, es decir

 

 

g ₀ f    ≠  f ₀ g

Ejemplo:         Sean A = {1, 3, 5}, B={-4,-5, -6, -7}, C={2, 4, 6}, y sean f: A →B  y g: B → C definidas por

Entonces resulta

El diagrama correspondiente es

CLASIFICA CIÓN DE FUNCIONES

                FUNCIÓN INVECTIVA sea f: A B una función. se dice que f es inyectiva, o uno a uno si cada elemento y € B es imagen de un solo elemento x € A. Es decir.

         f: A → B es inyectiva ↔ ∀X₁ € ∀_X2 € A: f (X₁) = f (X₂) →x I = x'2

Una manera alternativa de expresar esta condición es

	f: A →B es inyectiva ↔ ∀XI ∀X2 e A: XI ≠ X2    →	f (xi)	≠ (x2)
Ejemplo:	Sean A ={-1,O, 1, 2}.        B={-1,0,3,5,8} y sean      f:A →B y g: A→B, tales que f (x) = x2+2x                              g (x) = x2-2x

    

                Entonces   

En diagrama se tiene

                FUNCION SOBREYECTIVA Sea f: A→ B una función. Se dice que f es una funcion ,sobreyectiva. si y solo si todo clemento del codominio B es imagen de por lo mcnos un clemento de A. Esto significa que f es sobreyectiva cuando el conjunto de imagencs es B. Así. se define

(x1 -x2) (x1 + x2) + 2 (x1 -x2) = 0

 (x1 - x2) (x1 + x2+ 2)=0

 (x1 -x2)=0 → X1 =X2 

o bien X1 + x2 + 2=0